近年来，全息原理与拓扑量子场论的相关研究持续深入，特别是在理解量子场论与量子引力之间的联系方面取得了诸多突破性进展。全息原理的核心在于将高维度的引力理论与低维度的量子场论联系起来，而拓扑量子场论(TQFT)在这一过程中发挥着关键性的作用。拓扑量子场论决定了低维理论的对称性，这种对称性既包含常见的群对称，也包含群对称的推广——即范畴对称性的广义(不可逆)对称性，其结构能够与高维的拓扑量子场论联系起来。这就是近年来兴起并获得广泛关注的“拓扑全息原理”。
11月5日，清华大学丘成桐数学科学中心孔令欣教授与合作者在《物理评论X》(Physical Review X)第14卷第4期发表了题为“从D+1维拓扑量子场论到D维共形场论：全息张量网络与(二维)共形场论精确离散化”(CFTD from TQFTD+1 via Holographic Tensor Network, and PrecisionDiscretisationof CFT2)的论文，在量子场论和全息原理交叉领域取得重要进展。研究团队创新地提出一种利用拓扑量子场论搜索乃至构建共形场论(CFT)的精确离散化版本的方法，为深入理解CFT与TQFT之间的联系以及更为广泛的量子引力问题开辟了崭新的视角。
重整化群(RG)在理论物理中起着关键作用，它描述了系统在不同尺度下相似的物理行为。研究团队结合了广义不可逆对称性与重整化群这两个核心概念，通过改变拓扑场论的剖分结构，构造了保护(广义)对称性的重整化流，深入探索如何从D+1维TQFT中获取D维CFT的路径积分表示。其中，团队聚焦于由3维Turaev-Viro拓扑场论构造的重整化群不动点，将其转化成拓扑量子场论的边界条件，进而重构出2维有理共形场论的精确路径积分。此项工作首次实现将离散拓扑场论的状态和连续场论的路径积分联系起来，并给出了连续场论的离散化描述。
图1.Turaev-Viro拓扑场论构造的显式离散重整化群算符，从左至右展示了重整化过程
研究团队首先基于3维Turaev-ViroTQFT相关的Frobenius代数，成功构建出RG算符的拓扑特征态，通过这些特征态复现了广义对称低维TQFT的配分函数。在此基础上，团队进一步发现非特征解在RG算符的作用下，可以流到特征解。利用CFT处于拓扑特征态之间相变点的这一特性，开发出数值算法，用以寻找与CFT对应的RG算符特征态，重构出一系列已知2维格点模型的相变点，并发现可能存在的新型2维相变点。通过对这些非平凡不动点的深入研究，团队推测出能够复现2维有理共形场论(RCFT)路径积分的无限维特征解，切实实现了离散Turaev-Viro状态与连续路径积分之间的精确对应。该套方法被推广到3维CFT和4维拓扑RG算符，并在3维Ising模型中展示。最终，研究团队证明所构造的RG算符形成了一个精确的全息张量网络，可将其理解为对(欧几里得)AdSD+1空间的离散化，且能精确描述CFT。数值证据表明，当D=2时的体-边传播子与AdS3/CFT2中的传播子一致。
图2.全息张量网络示意图
这一系列成果不仅为理解CFT和TQFT之间的关系构建起统一而具体的框架体系，还在全息原理、量子引力与场论离散化之间构筑起全新的桥梁。研究揭示了通过拓扑场论和全息张量网络途径构造CFT的可能性，为复杂量子系统的研究提供了重要的新工具。值得一提的是，研究着重强调了RG不动点的关键作用，通过这些不动点，不同尺度下的物理行为得以实现统一描述，为探索CFT的结构提供了丰富多样的数学工具。未来，孔令欣团队将持续深入探寻其与AdS/CFT对应的精确联系，进一步推动量子物理理论研究的前沿进展。
清华大学丘成桐数学科学中心教授孔令欣(Ling-Yan Hung)为论文独立通讯作者。孔令欣2022年加入清华大学，主要研究领域为全息理论、量子引力，以及拓扑场论、拓扑物态的全息原理。华南理工大学副教授陈霖及复旦大学博士生季恺昕为共同第一作者，共同作者还包括山东大学本科生张皓琛，美国康奈尔大学博士生王若水，复旦大学博士生曾祥东、沈策。
